Tìm max
\(A=3\sqrt{2x-1}+x\sqrt{5-4x^2}\left(\frac{1}{2}\le x\le\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\)
\(B=\frac{xyz\left(x+y+z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)}\left(x,y,z>0\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
24 tháng 3 2020
Theo bài ra ta có: \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1\Rightarrow x+y+z=xyz\)
Do:\(\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}=\sqrt{yz+x^2yz}=\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
Tương tự: \(\sqrt{xy\left(1+z^2\right)}=\sqrt{\left(z+y\right)\left(x+z\right)}\);
\(\sqrt{zx\left(1+y^2\right)}=\sqrt{\left(z+y\right)\left(x+y\right)}\)
\(A=\sqrt{\frac{x^2}{yz\left(1+x^2\right)}}+\sqrt{\frac{y^2}{zx\left(1+y^2\right)}}+\sqrt{\frac{z^2}{xy\left(1+z^2\right)}}\)
\(A=\sqrt{\frac{x}{x+y}.\frac{x}{x+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+y}.\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+z}.\frac{z}{y+z}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô si \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\), dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
Ta có \(\sqrt{\frac{x}{x+y}.\frac{x}{x+z}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\);
\(\sqrt{\frac{y}{x+y}.\frac{y}{y+z}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}\right)\);
\(\sqrt{\frac{z}{x+z}.\frac{z}{y+z}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{z}{x+z}+\frac{z}{y+z}\right)\)
\(A\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z}+\frac{y}{y+x}+\frac{z}{y+z}+\frac{z}{x+z}\right)=\frac{3}{2}\)
Vậy \(A\le\frac{3}{2}\). Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)
DH
24 tháng 3 2020
M giải thích cho t chỗ sao mà \(\sqrt{xy\left(1+z^2\right)}=\sqrt{\left(z+y\right)\left(x+z\right)}\) đc vậy?
Với cả từ dòng này xuống dòng này nữa.
Sao mà tin đc dấu " = " xảy ra khi nào vậy?
5 tháng 2 2019
\(VT\le\frac{xyz\left(\sqrt{3}.\sqrt{x^2+y^2+z^2}+\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{xyz\left(1+\sqrt{3}\right)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(\le\frac{xyz\left(1+\sqrt{3}\right)}{\sqrt{\left(xy+yz+zx\right)^3}}\le\frac{xyz\left(1+\sqrt{3}\right)}{\sqrt{27\left(xyz\right)^2}}=\frac{1+\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{9}\)=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z.
5 tháng 2 2019
anh ấy có sử dụng BĐT AM-GM hay mincopski or bunhiacopski ko ta(nhìn vào bài suy nghĩ phức tạp quá).
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 3 2019
Bạn tham khảo tại đây:
Câu hỏi của Vũ Sơn Tùng - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
T
20 tháng 10 2020
1111111111111111111
\(VT=\Sigma\frac{xy+yz+zx}{xy}=3+\Sigma\frac{z\left(x+y\right)}{xy}\)
Đến đây để ý \(\frac{1}{2}\left[\frac{z\left(x+y\right)}{xy}+\frac{y\left(z+x\right)}{zx}\right]\ge\sqrt{\frac{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}{x^2}}\left(\text{AM - GM}\right)\)
Là xong.
A
Áp dụng BĐT cosi ta có
\(\sqrt{\left(2x-1\right).1}\le\frac{2x-1+1}{2}=x\)
\(x\sqrt{5-4x^2}\le\frac{x^2+5-4x^2}{2}=\frac{-3x^2+5}{2}\)
Khi đó
\(A\le3x+\frac{-3x^2+5}{2}=\frac{-3x^2+6x+5}{2}=\frac{-3\left(x-1\right)^2}{2}+4\le4\)
MaxA=4 khi \(\hept{\begin{cases}2x-1=1\\x^2=5-4x^2\\x=1\end{cases}\Rightarrow}x=1\)
B
Áp dụng BĐT cosi ta có :
\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\)
=> \(x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
=> \(B\le\frac{xyz.\left(\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}+\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+xz\right)}=\frac{xyz.\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(xy+yz+xz\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)
Lại có \(x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\); \(xy+yz+xz\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)
=> \(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\left(xy+yz+xz\right)\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}.\sqrt{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}=3\sqrt{3}.xyz\)
=> \(B\le\frac{\sqrt{3}+1}{3\sqrt{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{9}\)
\(MaxB=\frac{3+\sqrt{3}}{9}\)khi x=y=z